Vygintas Gontis, Aleksejus Kononovicius, Julius Ruseckas
Teorines fizikos ir astronomijos institutas, Vilniaus universitetas, Sauletekio al. 3, 10257 Vilnius, vygintas@gontis.eu
Fizikos tyrimo metodų taikymas papildo tradicinius finansinių, ekonominių ir kitų socialinių sistemų tyrimo būdus: ekonomiką, finansų matematiką ir ekonometriją [1, 2]. Jau pačioje šio amžiaus pradžioje mūsų grupės nariai ėmėsi Lietuvoje naujos tarpdisciplininės tyrimų krypties, pradėdami taikyti statistinės fizikos metodus ir aiškindamiesi sudėtingų finansinių bei kitų socialinių sistemų veikimą. Šiuos inovatyvius mūsų grupės moksliniius tyrimus apžvelgiame laikotarpiu nuo 2008 iki 2022 metų.
Terminas „Ekonofizika”, jungiantis ekonomikos ir fizikos disciplinas, pradėtas naudoti daugiau nei prieš 30 metų profesoriaus H. E. Stanley iniciatyva. Nors tikslesnio ir išsamesnio šio termino apibrėžimo vis dar ieškoma, daug pripažintų tyrimo grupių ir mokslo žurnalų visame pasaulyje prisideda prie sparčios tarpdisciplininės mokslo srities plėtros. Polymerų studijų centras Bostono universitete, kuriam vadovauja prof. H. E. Stanley, yra tapęs viso pasaulio Ekonofizikos specialistų traukos centru. Verta pastebėti, kad V. Gontis 10 mėnesių 2014-2015 metais stažavosi šiame centre taip pat.
Ekonofizikos pripažinimą nuolat lydi klausimas: kaip teorijos, skirtos aiškinti fizinio pasaulio sudaryto iš negyvų dalelių dėsningumus, gali padėti kiekybiškai aprašyti labai sudėtingą žmonių socialinio ir ekonominio veikimo visumą. Fizika, kaip gamtos mokslas, vertinama ir pripažįstama už savo tikslumą ir prognozavimo patikimumą, jos sėkmę lemia ribotas skaičius gerai nustatytų materijos savybių ir reiškinių. Priešingai, socialiniuose moksluose nėra neginčijamų, universalių veikiančių individų savybių. Žmonės, skirtingai nei dalelės, skiriasi vienas nuo kito labai įvairiomis savo savybėmis. Nepaisant šio fundamentalaus fizinių ir socialinių sistemų skirtumo, stebimi fizinių ir socialinių sistemų statistinio elgesio dėsnių panašumai sąlygoja statistinės fizikos metodų taikymus finansinėse ir kitose socialinėse sistemose.
Statistinė mechanika, kaip ypatingai svarbi fizikos sritis, padeda prognozuoti ir paaiškinti kiekybines makroskopinės sistemos savybes remiantis žinomomis sudedamųjų dalių mikroskopinėmis savybėmis. Visdėlto, net ir fizinėse sistemose dėl dinaminio chaoso pasireiškimo deterministinis ryšys tarp mikroskopinio ir makroskopinio aprašymo nutrūksta. Ekonominėse sistemose praktiškai yra neįmanoma suformuluoti sudedamųjų dalių mikroskopinio elgesio dėsnių (lygčių). Todėl mokslininkai paprastai pradeda savo tyrimus nuo makroskopinio lygmens ir ieško statistinio pobūdžio dėsningumų. Makroskopinių ekonominių sistemų pažinimui naudojame tokias konceptualias sąvokas kaip sudėtingos sistemos, stochastinė dinamika, koreliacijos, saviorganizacija, savastingumas (self-similarity) ir multifraktališkumas. Dažnai net nėra būtina pasinerti į detalų mikroskopinį ekonominių sistemų nagrinėjimą. Tačiau, statistinės fizikos metodai skatina skverbtis giliau, ypatingai finansinių sistemų tyrimuose. Norėdami paaiškinti nustatomus statistinius socialinių sistemų dėsningumus, fizikai siūlo naudoti kinetinių mainų modelius taip susiedami labai tolimas pažinimo sritis: fizinio ir socialinio pasaulio. Taip atsiranda ir įgauna pripažinimą mikroskopiniai socialinių sistemų modeliai sudaryti iš nulinio intelektualumo agentų, veikiančių, kaip atsitiktinės (stochastinės) dalelės.
Mūsų grupės indėlis į Ekonofizikos plėtrą remiasi statistinės fizikos taikymais, empirine duomenų analize, stochastiniu modeliavimu, agentų modeliavimu, ir pastangomis susieti socialinių sistemų aprašymą makroskopiniame ir mikroskopiniame lygmenyse. Pradėjome savo tyrimus nuo lengvai prieinamų finansinių sistemų duomenų empirinio tyrimo ir plėtėme savo dėmesį į kitas socialines sistemas, kur duomenų prieinamumas pasirodė pakankamas. Ypatingą dėmesį skyrėme duomenims, gautiems Lietuvos institucijose, taip siekdami pastebėti reiškinių specifiką dėl vietinio ir regioninio išskirtinumo [3, 4, 5].
Mūsų pirmosios pastangos plėtoti Ekonofizikos tyrimus buvo skirtos finansų rinkų modeliavimui [6, 7]. Tuose tyrimuose mes analizavome sandorius finansų rinkose, kaip taškinius įvykius aprašomus pasiūlyto taškinio proceso modeliu [8, 9, 10]. Nors toks aprašymas puikiai atitinka mūsų intuiciją, jo pritaikymas aprašyti prekybos aktyvumą ir kintamumą finansuose tapo problematiškas. Norėdami išvengti kylančių problemų, nuosekliai perėjome nuo taškinių procesų prie tolydinio aprašymo stochastinėmis diferencialinėmis lytimis (SDL) [11, 12]. Šios SDL yra atsakingos už kintamojo statines savybes, kurios gali būti painiojamos su ilgos atminties pasireiškimu stochastinėse laiko eilutėse. Todėl stochastinis modeliavimas naudojant pasiūlytas netiesines SDL mūsų buvo interpretuojamas, kaip apgaulingos ilgos atminties pasireiškimo galimybė [13, 14].
Toliau netiesinės SDL taikymus plėtojome siūlydami naujus tikslesnius kintamumo ir grąžos finansų rinkose stochastinius modelius [15, 16, 3, 17]. Nauju pasiekimu tapo tai, kad pavyko susieti naudojamą SDL su paprastu agentų modeliu (AM) [18, 19]. Tam labai pasitarnavo Kirmano skruzdžių kolonijos modelis [20] ir žinomas jo makroskopinis aprašymas SDL bei galimas pritaikymas finansų rinkoms [21]. Vėlesniuose darbuose AM pritaikėme grąžai modeliuoti, tikslinome jį, įvesdami skirtingus agentų tipus ir skirtingus laiko mastelius, [22]. Atsižvelgę į sandorių srauto kuriamą triukšmą, pasiekėme labiau išbaigtą ir empirinius duomenis geriau aprašančią AM versiją [23]. Po to dar patikslinome ir sandorių srauto mikroskopinį modelį [24].
Bendradarbiaudami su pripažintomis Ekonofizikos asmenybėmis, profesoriais H. E. Stanley, Sh. Havlin, B. Podobnik, ir S. Buldyrev, išplėtėme mūsų pasiūlyto modelio taikymą aiškinant empiriškai stebimą didelio kintamumo sugrįžimo laiko statistiką, parengėme bendrą publikaciją [25]. Mūsų rezultatai patvirtino empirinį faktą, kad laiko intervalai tarp didelių finansinių fluktuacijų \(\tau\) yra pasiskirstę pagal laipsninę tikimybės tankio funkciją (TTF) \(p(\tau) \sim \tau^{-3/2}\) [25]. Tai puikiai dera su mūsų stochastiniu ir agentų modeliavimu bei bendra vienmačių stochastinių Markovo procesų teorija [26]. Priešingai, tikros ilgos atminties sistemos turėtų pasireikšti laiko intervalų skirstiniu \(p(\tau) \sim \tau^{2-H} \), kaip gerai žinomo trupmenino Brauno judėjimo (TBJ) atveju [27]. Sėkmė laiko intervalų tarp didelių fluktuacijų tyrime paskatino plėtoti šią temą tiek teoriniu [28], tiek empirinės analizės aspektais [29, 14]. Norėjome panaudoti stochastinių procesų pirmo kirtimo laikų teoriją, kurdami apgaulingos atminties nustatymo kriterijus [13, 14, 30]. Šių idėjų vedami net pasiūlėme naują gyvybės ir mirties (birth-death) procesą [31]. Idėjos platesnį naudojimą riboja tai, kad ji tinka tik vienmačiams stochastiniams procesams.
Tolesnė matematinė Kirmano modelio analizė parodė, kad gerai žinomas marketingo teorijoje Baso difuzijos modelis yra atskiras Kirmano modelio atvejis [32]. Kiek vėliau pastebėtas Kirmano modelio ryšys su sociofizikos literatūroje populiariu rinkėjo modeliu [33]. Tai, kad rinkėjo (ir Kirmano) modelis grindžiamas kitų agentų įtaka, reiškia, kad finansų rinkas ir kitas socialines sistemas galima valdyti pasitelkiant informuotus, nuomonės nekeičiančius agentus. Darbe [34] parodėme, kad turėtų užtekti baigtinio agentų skaičiaus norint paveikti begalinio dydžio sistemą, o darbe [35] patikslinome, kad intervencija negali būti paremta išoriniu triukšmu, kaip siūlyta Biondo 2013, Phys.Rev.E.
Literatūroje Kirmano modelis buvo įvardijamas kaip turintis dvi interpretacijas [21]: lokalią ir globalią. Lokalioji interpretacija gali būti aprašoma paprastąja diferencialine lygtimi, o globalioji – stochastine diferencialine lygtimi. Darbe [36] pasiūlėme savo išplėstą interpretaciją, kuri įgalino tolydų perėjimą tarp lokalumo ir globalumo, ir parodėme, kad išplėstoji interpretacija leidžiai tolydžiai pereiti nuo ekstensyvios (Bolcmano) prie neekstensyvios (Tsalio) statinės mechanikos. Šis darbas taip pat tiesiogiai įkvėpė koreliuotų sukinių modelį [37, 38], kuris yra minimalus modelis pasižymintis neekstensyvumu.
Daugelis egzistuojančių sociofizikos darbų rinkėjo modelį tyrinėja tik iš teorinės perspektyvos [33]: papildo modelį įvairiais naujais mechanizmais, ir stebi kaip šių mechanizmų įtraukimas keičia modelio dinamiką. Mes savo indėlį į sociofizikos plėtrą grindžiame teoriniu modeliavimu ir empirine analize. Darbe [4] nagrinėjome LR Seimo rinkimų rezultatus, ir parodėme, kad daugelio būsenų rinkėjo modelis paaiškina didžiųjų partijų balsų dalies skirstinius. Straipsnyje [39] pademonstravome, kad ankstesnės empirinės analizės nustatė kitokius balsų dalies pasiskirstymus, nes nagrinėjo senųjų demokratijų rinkimų duomenis. Darbe [5] identifikavome rinkimų apylinkių nepriklausomumo paradoksą ir jį išsprendėme, pasiūlydami erdvinį rinkėjo modelį, kurį įkvėpė Izingo modelio Kawasaki interpretacija. Straipsnyje [40] tikrinome hipotezę, kad lankomumo statistiką galima modeliuoti trupmeninės difuzijos lygtimis [41]. Nagrinėdami LR Seimo lankomumo statistiką pamatėme, kad stebimą anomalią lankomumo difuziją atkuria rinkėjo modelis su paslėptomis intencijomis. Darbe [42] pademonstravome, kad bendraminčių paramos mechanizmas sąlygoja ne-Markovo tipo efektus (tokie kaip būsenos senėjimas ar užšalimas). Pastarieji darbai paskatino gilintis į sąryšius tarp netiesiškumo ir ne-Markovo dinamikos iš teorinio modeliavimo perspektyvos [43, 44, 45].
Didelė mūsų atliktų tyrimų dalis yra skirta stebimos ilgos atminties bei kitų laipsninių statistinių savybių sudėtingose socialinėse sistemose modeliavimui. Reikia pastebėti, kad mūsų siūlomas modeliavimas esmingai skiriasi nuo kitų žinomų ne Markovo metodų, nes mes iš anksto neatsisakome Markovo prielaidos. Nežiūrint šio esminio konceptualaus skirtumo dėl agentų sąveikos ir gaunamų SDL netiesiškumo mes gauname tiriamų kintamųjų statistines savybes, kurios puikiai atitinka empirines. Todėl mūsų darbai kelia pagrįstą klausimą: Ar visais empiriškai stebimais ilgos atminties pasireiškimo socialinėse sistemose atvejais galime patikimai teigti, kad stebima atmintis nėra apgaulinga ir kylanti iš reiškinių ne tiesinės prigimties? Ekonofizikos tyrimuose patikimiausiai atrodo darbai, vertinantys ir modeliuojantys ilgos atminties pasireiškimą pavedimų sraute pirkti parduoti akcijas finansų rinkose [46]. Mes taip pat atlikome empirinę pavedimų srauto duomenų analizę, ieškodami ilgos atminties pasireiškimo sandorių disbalanso laiko eilutėse [30]. Tyrimas parodė, kad net pati bendriausia stochastinės laiko eilutės, kaip Trupmeninio Levy stabilaus judėjimo, prielaida yra nepakankama gauti vienareikšmišką atsakymą [47]. Tik pačiame naujausiame mūsų darbe parodėme, kad ši prielaida yra teisinga tik sandorių pavedimų srautui, kuriame nėra (išimami) sandorių naikinimo ir įvykdymo pavedimai.
Daugelis sudėtingų fizinių ir socialinių sistemų pasižymi ne Gauso skirstiniais, laipsninio pobūdžio autokoreliacijomis ir fraktališkumu. Šių savybių aprašymui statistinė fizika apibendrinama ir plėtojama kaip neekstensyvi Tsallio statistinė mechanika. Įvedamas neekstensyvumo parametras \(q \), kuris apibendrina eksponentinius skirstinius ir įprastą logaritmo funkciją. Tsallio statistinė mechanika tampa plačiai naudojama tiek fizinėse, tiek socialinėse sistemose. Darbuose [48, 17] pasiūlėme netiesinę SDL, generuojančią Tsallio statistikos skirstinius, 1/f triukšmą ir finansinių kintamųjų dinamiką. Tsallio q-skirstinius galima gauti superstatistikos atveju, kaip įvairių lokalių dinamikų suprepoziciją, gaunamą skirtingais laiko intervalas. Tokiu atveju, stochastinio kintamojo vidurkis yra aprašomas netiesiniu stochastiniu procesu, o momentinis signalo skirstinys yra eksponentinis arba Gauso pobūdžio.
Tinklaraštyje „Rizikos fizika„, https://rf.mokslasplius.lt, populiarinome savo ir kitų mokslinius rezultatus, atliekamus statistinės fizikos, ekonofizikos ir sociofizikos srityse. Jame iliustravome įvairius tematiškai artimus modelius ir tyrimo metodus. Tinklaraštį pradėjome kurti lietuvių kalba, vėliau, sulaukus susidomėjimo iš užsienio kolegų, pradėjome rašyti ir anglų kalba. Šiuo metu tinklaraštis yra rašomas tik anglų kalba, o jame prieinama virš 400 įvairios apimties įrašų. Iš 2010-2022 m. laikotarpyje publikuotų įrašų apie 150 turi interaktyvių elementų. Tinklaraštis atlieka tiek mokslo populiarinimo, tiek paskaitų konspekto analogo funkcijas.
Literatūra
[1] R. N. Mantegna, Presentation of the English translation of Ettore Majorana paper: The value of statistical laws in physics and social sciences, Quantitative Finance 5 (2) (2005) 133–140, doi:10.1080/14697680500148174, URL https://doi.org/10.1080/14697680500148174
[2] B. K. Chakrabarti, A. Chakraborti, A. Chatterjee (Eds.), Econophysics and Sociophysics, Wiley, 2006, doi:10.1002/9783527610006, URL https://doi.org/10.1002/9783527610006.
[3] V. Gontis, A. Kononovicius, Nonlinear stochastic model of return matching to the data of New York and Vilnius stock exchanges, Dynamics of Socio-Economic Systems 2 (2011) 101–109, arXiv:1003.5356.
[4] A. Kononovicius, Empirical analysis and agent-based modeling of Lithuanian parliamentary elections, Complexity 2017 (2017) 7354642, doi:10.1155/2017/7354642.
[5] A. Kononovicius, Compartmental voter model, Journal of Statistical Mechanics 2019 (2019) 103402, doi:10.1088/1742-5468/ab409b.
[6] V. Gontis, Modelling share volume traded in financial markets, Lithuanian Journal of Physics 41 (2001) 551–555.
[7] V. Gontis, Multiplicative stochastic model of the time interval between trades in financial markets, Nonlinear Analysis: Modelling and Control 7 (2002) 43–54. arXiv:cond-mat/0211317.
[8] B. Kaulakys, T. Meskauskas, Modeling 1=f noise, Physical Review E 58 (1998) 7013–7019. doi:10.1103/PhysRevE.58.7013.
[9] B. Kaulakys, Autoregressive model of 1/f noise, Physics Letters A 257 (1999) 37–42. doi:10.1016/S0375-9601(99)00284-4.
[10] B. Kaulakys, V. Gontis, M. Alaburda, Point process model of 1/f noise vs a sum of Lorentzians, Physical Review E 71 (2005) 1–11, doi:10.1103/PhysRevE.71.051105.
[11] V. Gontis, B. Kaulakys, J. Ruseckas, Trading activity as driven Poisson process: comparison with empirical data, Physica A 387 (2008) 3891–3896, doi:10.1016/j.physa.2008.02.078.
[12] J. Ruseckas, B. Kaulakys, 1/f noise from nonlinear stochastic differential equations, Physical Review E 81 (2010) 031105, doi:10.1103/physreve.81.031105.
[13] V. Gontis, A. Kononovicius, Spurious memory in non-equilibrium stochastic models of imitative behavior, Entropy 19 (8) (2017) 387. doi:10.3390/e19080387, URL https://doi.org/10.3390/e19080387.
[14] V. Gontis, A. Kononovicius, The consentaneous model of the financial markets exhibiting spurious nature of long-range memory, Physica A 505 (2018) 1075–1083, doi:10.1016/j.physa.2018.04.053.
[15] V. Gontis, J. Ruseckas, A. Kononovicius, A non-linear stochastic model of return in financial markets, in: C. Myers (Ed.), Stochastic Control, InTech, 2010, pp. 559–580. doi:10.5772/9748.
[16] V. Gontis, J. Ruseckas, A. Kononovicius, A long-range memory stochastic model of the return in financial markets, Physica A 389 (2010) 100–106. doi:10.1016/j.physa.2009.09.011.
[17] J. Ruseckas, V. Gontis, B. Kaulakys, Nonextensive statistical mechanics distributions and dynamics of financial observables from the nonlinear stochastic differential equations, Advances in Complex Systems, 15 (2012) 1250073, doi:10.1142/S0219525912500737.
[18] J. Ruseckas, B. Kaulakys, V. Gontis, Herding model and 1/f noise, EPL 96 (2011) 60007. doi:10.1209/0295-5075/96/60007.
[19] A. Kononovicius, V. Gontis, Agent based reasoning for the non-linear stochastic models of long-range memory, Physica A 391 (2012) 1309–1314, doi:10.1016/j.physa.2011.08.061.
[20] A. P. Kirman, Ants, rationality and recruitment, Quarterly Journal of Economics 108 (1993) 137–156, doi:10.2307/2118498.
[21] S. Alfarano, T. Lux, F. Wagner, Estimation of agent-based models: The case of an asymmetric herding model, Computational Economics 26 (2005) 19–49, doi:10.1007/s10614-005-6415-1.
[22] A. Kononovicius, V. Gontis, Three state herding model of the financial markets, EPL 101 (2013) 28001, doi:10.1209/0295-5075/101/28001.
[23] V. Gontis, A. Kononovicius, Consentaneous agent-based and stochastic model of the financial markets, PLoS ONE 9 (2014) e102201, doi:10.1371/journal.pone.0102201.
[24] A. Kononovicius, J. Ruseckas, Order book model with herding behavior exhibiting long-range memory, Physica A 525 (2019) 171–191, doi:10.1016/j.physa.2019.03.059.
[25] V. Gontis, S. Havlin, A. Kononovicius, B. Podobnik, H. E. Stanley, Stochastic model of financial markets reproducing scaling and memory in volatility return intervals, Physica A 462 (2016) 1091–1102, doi:10.1016/j.physa.2016.06.143.
[26] S. Redner, A guide to first-passage processes, Cambridge University Press, 2001.
[27] M. Ding, W. Yang, Distribution of the first return time in fractional Brownian motion and its application to the study of on-off intermittency, Physical Review E 52 (1995) 207, doi:10.1103/PhysRevE.52.207.
[28] A. Kononovicius, V. Gontis, Approximation of the first passage time distribution for the birth-death processes, Journal of Statistical Mechanics 2019 (2019) 073402. arXiv:1902.00924, doi:10.1088/1742-5468/ab2709.
[29] V. Gontis, A. Kononovicius, Burst and inter-burst duration statistics as empirical test of long-range memory in the financial markets, Physica A 483 (2017) 266–272, doi:10.1016/j.physa.2017.04.163.
[30] V. Gontis, Long-range memory test by the burst and inter-burst duration distribution, Journal of Statistical Mechanics 2020 (2020) 093406, doi:10.1088/1742-5468/abb4db.
[31] V. Gontis, A. Kononovicius, Bessel-like birth–death process, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 540 (2020) 123119, doi:10.1016/j.physa.2019.123119, URL https://doi.org/10.1016/j.physa.2019.123119.
[32] V. Daniunas, V. Gontis, A. Kononovicius, Agent-based versus macroscopic modeling of competition and business processes in economics, in: ICCGI 2011, The Sixth International Multi-Conference on Computing in the Global Information Technology, Luxembourg, 2011, pp. 84–88. arXiv:1104.2895, URL http://www.thinkmind.org/index.php?view=article&articleid=iccgi_2011_4_40_10188.
[33] C. Castellano, S. Fortunato, V. Loreto, Statistical physics of social dynamics, Reviews of Modern Physics 81 (2009) 591–646, doi:10.1103/RevModPhys.81.591.
[34] A. Kononovicius, V. Gontis, Control of the socio-economic systems using herding interactions, Physica A 405 (2014) 80–84, doi:10.1016/j.physa.2014.03.003.
[35] A. Kononovicius, V. Gontis, Herding interactions as an opportunity to prevent extreme events in financial markets, Eur. Phys. J. B 88 (2015) 189, doi:10.1140/epjb/e2015-60160-0.
[36] A. Kononovicius, J. Ruseckas, Continuous transition from the extensive to the non-extensive statistics in an agent-based herding model, European Physics Journal B 87 (2014) 169, doi:10.1140/epjb/e2014-50349-0.
[37] J. Ruseckas, Probabilistic model of N correlated binary random variables and non-extensive statistical mechanics, Physics Letters A 379 (2015) 654–659. arXiv:1408.0088v2, doi:10.1016/j.physleta.2014.12.038.
[38] A. Kononovicius, J. Ruseckas, Stochastic dynamics of N correlated binary variables and non-extensive statistical mechanics, Physics Letters A 380 (2016) 1582–1588. arXiv:1601.06968, doi:10.1016/j.physleta.2016.03.006.
[39] A. Kononovicius, Modeling of the parties’ vote share distributions, Acta Physica Polonica A 133 (2018) 1450–1458. arXiv:1709.07655, doi:10.12693/APhysPolA.133.1450.
[40] A. Kononovicius, Noisy voter model for the anomalous diffusion of parliamentary presence, Journal of Statistical Mechanics 2020 (2020) 063405. arXiv:2001.01479, doi:10.1088/1742-5468/ab8c39.
[41] D. S. Vieira, J. M. E. Riveros, M. Jauregui, R. S. Mendes, Anomalous diffusion behavior in parliamentary presence, Physical Review E 99 (2019) 042141. doi:10.1103/PhysRevE.99.042141.
[42] A. Kononovicius, Supportive interactions in the noisy voter model, Chaos, Solitons & Fractals 143 (2021) 110627. doi:10.1016/j.chaos.2020.110627.
[43] A. Kononovicius, J. Ruseckas, Nonlinear GARCH model and 1/f noise, Physica A 427 (2015) 74–81, doi:10.1016/j.physa.2015.02.040.
[44] R. Kazakevicius, A. Kononovicius, Anomalous diffusion in nonlinear transformations of the noisy voter model, Physical Review E 103 (2021) 032154, doi:10.1103/PhysRevE.103.032154.
[45] A. Kononovicius, R. Kazakevicius, B. Kaulakys, Resemblance of the power-law scaling behavior of a non-Markovian and nonlinear point processes, Chaos, Solitons & Fractals 162 (2022) 112508, doi:10.1016/j.chaos.2022.112508.
[46] B. Toth, I. Palit, F. Lillo, J. D. Farmer, Why is equity order flow so persistent?, Journal of Economic Dynamics & Control 51 (2015) 218–239, doi:10.1016/j.jedc.2014.10.007.
[47] V. Gontis, Order flow in the financial markets from the perspective of the fractional lévy stable motion, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 105 (2022) 106087. doi:10.1016/j.cnsns.2021.106087, URL https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2021.106087.
[48] J. Ruseckas, B. Kaulakys, Tsallis distributions and 1/f noise from nonlinear stochastic differential equations, Physical Review E 84 (2011) 051125. doi:10.1103/PhysRevE.84.051125.